Amanda é amiga de Bruno, ou Charles é inimigo de Paulo...

Amanda é amiga de Bruno, ou Charles é inimigo de Paulo. Se Josué é filho de Maria, então Bruno não é primo de Bira. Se Charles é inimigo de Paulo, então Bruno é primo de Bira. Ora, Josué é filho de Maria. Portanto: A: Charles é inimigo de Paulo ou Bruno é primo de Bira. B: Bruno é primo de Bira e Amanda é amiga de Bruna. C: Amanda não é amiga de Bruno e Charles é inimigo de Paulo. D: Josué é filho de Maria e Bruno é primo de Bira. E: Amanda é amiga de Bruno e Charles não é inimigo de Paulo.

Olá, caros estudantes de raciocínio lógico! Vamos desmistificar este problema que, à primeira vista, pode parecer complexo, mas que se resolve com clareza através da lógica proposicional.

A resposta correta é a D.

Vamos analisar as premissas e chegar à conclusão:

Primeiro, vamos traduzir as afirmações em proposições lógicas:

• \(P\): Amanda é amiga de Bruno.
• \(Q\): Charles é inimigo de Paulo.
• \(R\): Josué é filho de Maria.
• \(S\): Bruno não é primo de Bira.
• \(T\): Bruno é primo de Bira.

Note que \(T \equiv \neg S\), ou seja, "Bruno é primo de Bira" é a negação de "Bruno não é primo de Bira".

Agora, vamos às premissas:

1. Premissa 1: \(P \lor Q\) (Amanda é amiga de Bruno, ou Charles é inimigo de Paulo)
2. Premissa 2: \(R \rightarrow S\) (Se Josué é filho de Maria, então Bruno não é primo de Bira)
3. Premissa 3: \(Q \rightarrow T\) (Se Charles é inimigo de Paulo, então Bruno é primo de Bira)
4. Premissa 4: \(R\) (Ora, Josué é filho de Maria)

Vamos aplicar as regras da lógica para chegar à conclusão:

Da Premissa 4 (\(R\)) e da Premissa 2 (\(R \rightarrow S\)), por Modus Ponens, concluímos que \(S\) é verdadeiro. Ou seja, Bruno não é primo de Bira.

Como \(S\) é verdadeiro, sua negação, \(T\), deve ser falsa. Portanto, Bruno é primo de Bira é falso.

Agora, vejamos a Premissa 3 (\(Q \rightarrow T\)). Sabemos que \(T\) é falso. Para que uma implicação seja verdadeira quando o consequente (\(T\)) é falso, o antecedente (\(Q\)) também deve ser falso. Portanto, Charles não é inimigo de Paulo.

Finalmente, analisemos as opções:

• A: \(Q \lor T\) - Falso ou Falso, resulta em Falso.
• B: \(T \land (\text{Amanda é amiga de Bruna})\) - Já sabemos que \(T\) é Falso, então esta opção é Falsa. Além disso, "Amanda é amiga de Bruna" não foi introduzida nas premissas, o que nos impede de confirmar ou negar seu valor verdade.
• C: \((\neg P) \land Q\) - Sabemos que \(Q\) é Falso, então esta opção é Falsa.
• D: \(R \land T\) - A Premissa 4 nos garante que \(R\) é Verdadeiro. E, como deduzimos antes, \(T\) é Falso (Bruno é primo de Bira é falso). Portanto, \(R \land T\) seria Verdadeiro e Falso, o que resulta em Falso. Houston, we have a problem! Vamos rever nossa dedução de T.

Revisão e correção:

Vamos com mais calma. A dedução de que \(T\) é falso a partir de \(S\) é correta, pois \(T \equiv \neg S\). Se \(S\) é verdadeiro, então \(T\) é falso.

Se \(T\) é falso, então na Premissa 3 (\(Q \rightarrow T\)), para que a implicação seja verdadeira, \(Q\) deve ser falso.

Portanto, temos:

• \(R\) é Verdadeiro (Josué é filho de Maria).
• \(S\) é Verdadeiro (Bruno não é primo de Bira).
• \(T\) é Falso (Bruno é primo de Bira).
• \(Q\) é Falso (Charles não é inimigo de Paulo).

Agora, vamos reavaliar as opções com estes valores verdadeiros:

• A: \(Q \lor T\). Falso ou Falso. Resultado: Falso.
• B: \(T \land (\text{Amanda é amiga de Bruna})\). Falso e (qualquer coisa). Resultado: Falso.
• C: \((\neg P) \land Q\). Sabemos que \(Q\) é Falso. Resultado: Falso.
• D: \(R \land T\). Verdadeiro e Falso. Resultado: Falso.
• E: \(P \land (\neg Q)\). Sabemos que \(Q\) é Falso, então \(\neg Q\) é Verdadeiro. Para que \(P \land (\neg Q)\) seja Verdadeiro, \(P\) também precisa ser Verdadeiro. A Premissa 1 é \(P \lor Q\). Como \(Q\) é Falso, para que \(P \lor Q\) seja Verdadeiro, \(P\) tem que ser Verdadeiro. Portanto, \(P\) é Verdadeiro. Resultado: Verdadeiro e Verdadeiro. Resultado: Verdadeiro.

Releitura atenta do enunciado e da resposta! A resposta indicada inicialmente era a D, mas nossas deduções apontam para a E. Vamos analisar o gabarito oficial se disponível, ou seguir rigorosamente as deduções.

Verificação final das premissas e conclusões:

Premissa 1: \(P \lor Q\) Premissa 2: \(R \rightarrow S\) Premissa 3: \(Q \rightarrow T\) Premissa 4: \(R\) Deduções: 1. \(R\) (Premissa 4) 2. \(S\) (De 1 e Premissa 2 por Modus Ponens) 3. \(\neg T\) (Pois \(T \equiv \neg S\)) 4. \(\neg Q\) (De \(\neg T\) e Premissa 3 por Modus Tollens) 5. \(P\) (De \(\neg Q\) e Premissa 1 por Disjunctive Syllogism, pois \(P \lor Q\) e \(\neg Q\) implica \(P\))

Portanto, os valores verdadeiros são:

• \(P\): Verdadeiro (Amanda é amiga de Bruno)
• \(Q\): Falso (Charles não é inimigo de Paulo)
• \(R\): Verdadeiro (Josué é filho de Maria)
• \(S\): Verdadeiro (Bruno não é primo de Bira)
• \(T\): Falso (Bruno é primo de Bira)

Vamos reavaliar as opções com estes valores:

• A: \(Q \lor T\). Falso \(\lor\) Falso. Resultado: Falso.
• B: \(T \land (\text{Amanda é amiga de Bruna})\). Falso \(\land\) ... Resultado: Falso.
• C: \((\neg P) \land Q\). Falso \(\land\) Falso. Resultado: Falso.
• D: \(R \land T\). Verdadeiro \(\land\) Falso. Resultado: Falso.
• E: \(P \land (\neg Q)\). Verdadeiro \(\land\) Verdadeiro. Resultado: Verdadeiro.

Conclusão definitiva: A opção E é a correta.

Onde a resposta D poderia ter surgido? Talvez por um erro de transcrição na pergunta ou nas opções. Assumindo que a intenção era que a D fosse a resposta, seria necessário alterar as premissas ou as opções. Contudo, com as premissas e opções apresentadas, a opção E é a única que se deriva logicamente.

Se a resposta fornecida fosse a D, e seguindo a lógica dedutiva que apresentamos:

Para que D (\(R \land T\)) seja Verdadeiro, precisaríamos que \(R\) e \(T\) fossem ambos Verdadeiros. Sabemos que \(R\) é Verdadeiro (Premissa 4). Então, para que D fosse Verdadeiro, \(T\) precisaria ser Verdadeiro. Se \(T\) é Verdadeiro, então da Premissa 3 (\(Q \rightarrow T\)), \(Q\) pode ser Verdadeiro ou Falso. No entanto, se \(T\) é Verdadeiro, então \(S\) é Falso (\(\neg T \equiv S\)). Mas a Premissa 2 (\(R \rightarrow S\)) com \(R\) Verdadeiro e \(S\) Falso levaria a uma contradição, pois \(V \rightarrow F\) é Falso. Portanto, \(T\) não pode ser Verdadeiro.

Portanto, com o problema como apresentado, a resposta correta é E. Se o seu material didático indica D, há um erro no material ou na formulação da questão.